XUSUSIY HOSILALI DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI SONLI YECHISH UCHUN ALGORITMLAR VA DASTURIY VOSITALARNI SHAKLLANTIRISH
Keywords:
Xususiy hosilali differensial tenglamalar, sonli usullar, diskretlashtirish, barqarorlik, yaqinlashuv, chekli ayirmalar usuli, chekli elementlar usuli, iteratsion algoritmlar, siyrak matritsalar, parallel hisoblash, dasturiy modellashtirish., Differential equations with special derivatives, numerical methods, discretization, stability, convergence, finite difference method, finite element method, iterative algorithms, sparse matrices, parallel computing, software modeling., Дифференциальные уравнения со специальными производными, численные методы, дискретизация, устойчивость, сходимость, метод конечных разностей, метод конечных элементов, итерационные алгоритмы, разреженные матрицы, параллельные вычисления, программное моделирование.Abstract
Mazkur tadqiqot xususiy hosilali differensial tenglamalarni (XHDT) sonli yechish uchun zamonaviy algoritmik yondashuvlar va samarali dasturiy vositalarni shakllantirishga bag‘ishlanadi. Amaliy fanlar va muhandislik masalalarida uchraydigan ko‘p o‘lchamli, nochiziqli va murakkab chegaraviy shartlarga ega differensial modellarni analitik usulda yechish imkoniyati cheklanganligi sababli, barqaror va yuqori aniqlikdagi sonli metodlarni ishlab chiqish dolzarb vazifa hisoblanadi. Tadqiqotda differensial operatorlarni diskretlashtirishning nazariy asoslari, yaqinlashuv va barqarorlik masalalari hamda katta o‘lchamli algebraik sistemalarni samarali yechish mexanizmlari ko‘rib chiqiladi. Algoritmlar zamonaviy dasturlash muhitida implementatsiya qilinib, hisoblash samaradorligi va xotira tejamkorligi nuqtai nazaridan tahlil etiladi. Ish natijalari ilmiy modellashtirish, texnologik jarayonlarni simulyatsiya qilish va muhandislik hisoblashlarida qo‘llash imkonini beradi.
This research is devoted to the development of modern algorithmic approaches and effective software tools for numerical solution of partial differential equations (PDEs). Due to the limited ability to analytically solve multidimensional, nonlinear and complex boundary conditions differential models encountered in applied sciences and engineering, the development of stable and high-precision numerical methods is an urgent task. The research considers the theoretical foundations of discretization of differential operators, convergence and stability issues, and mechanisms for effective solution of large-dimensional algebraic systems. The algorithms are implemented in a modern programming environment and analyzed in terms of computational efficiency and memory efficiency. The results of the work allow for their application in scientific modeling, simulation of technological processes, and engineering calculations.
Данное исследование посвящено разработке современных алгоритмических подходов и эффективных программных средств для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП). В связи с ограниченными возможностями аналитического решения многомерных, нелинейных и сложных граничных условий дифференциальных моделей, встречающихся в прикладных науках и технике, разработка устойчивых и высокоточных численных методов является актуальной задачей. В исследовании рассматриваются теоретические основы дискретизации дифференциальных операторов, вопросы сходимости и устойчивости, а также механизмы эффективного решения многомерных алгебраических систем. Алгоритмы реализованы в современной среде программирования и проанализированы с точки зрения вычислительной эффективности и эффективности использования памяти. Результаты работы позволяют применять их в научном моделировании, моделировании технологических процессов и инженерных расчетах.
